【Method】Gamma函数
原理
学习高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相奇特的Gamma函数
\[\Gamma (x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} dt\]则，
\[\Gamma (x+1) = \int_0^\infty e^{-t}t^x dt\]通过分部积分法得
\[\begin{align} \Gamma(x+1) &= \int_0^\infty e^{-t}t^x dt \\ &= -(\int_0^\infty t^x d (e^{-t})) \\ &= -([\frac{t^x}{e^t}]_0^\infty - \int_0^\infty e^{-t} d t^x) \\ &= -([\frac{t^x}{e^t}]_0^\infty - x\int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} d t) \\ \end{align}\]当\(t=0\)时，\(\frac{0^n}{e^0}=\frac{0}{1}=0\)。当\(x \to \infty\)时，根据洛必达法则，有\(\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\)。因此第一项\([\frac{t^x}{e^t}]_0^\infty\)等于0，所以
\[\Gamma(x+1) = x\int_0^\infty e^{-t} t^{x-1} d t = x\Gamma(x)\]于是很容易证明，\(\Gamma(x)\)函数可以当成是阶乘在实数集上的延伸，具有如下性质
\[\Gamma(n) = (n-1)!\]从二项分布到Gamma分布
Gamma函数在概率统计中频繁现身，众多的统计分布，包括常见的统计学三大分布（t分布，\(\Chi^2\)分布，F分布）、Beta分布、Dirichlet分布的密度公式中都有Gamma函数的身影；当然发生最直接联系的概率分布是由Gamma函数变换得到的Gamma分布。对Gamma函数的定义做一个变形，就可以得到如下式子
\[\int_0^\infty \frac{x^{\alpha-1}e^{-x}}{\Gamma(\alpha)} =1\]